Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Diese Normalgestalten sind eben Diagonalmatrizen, wo auf der, je nachdem wie wir die Transformation

machen wollen, auf der Diagonale entweder die positiven, negativen und nulleinheitswerte haben

oder aber dann, wenn wir radikaler in der Transformation rangehen, also keine

orthogonalen Transformationen haben wollen, dann plus eins, minus eins und nullen haben.

Genauso gibt es jetzt hier bei den alternierenden Bilinearformen eine Normalgestalt, das war das,

was wir uns als letztes angeschaut haben und auch verifiziert haben. Also schauen wir uns noch mal

an, wie die ausschaut. Die hat gegebenenfalls eine ganze Reihe von Nullen, was sozusagen dem Kern

der Form entspricht oder den Kern der Darstellungsmatrix entspricht. Es geht ja hier um die

Darstellungsmatrix und die Grammische Matrix bezüglich einer geeignet gewählten Basis.

Und dann haben wir im Gegensatz eben zur Diagonalgestalt bei symmetrischen Formen

hier diese zwei Kreuz-zwei-Blöcke mit Nullen auf der Diagonalen, minus eins auf der Position eins

zwei und entsprechend eins, das ist insgesamt eine antisymmetrische Matrix hier, mit eins auf

der Position zwei eins. Also das hier ist eine wohlbekannte Matrix, auch wenn ich letztes Mal

dazu Unsinn gesagt habe und keiner von Ihnen mir hinreichend widersprochen hat. Das ist eine

Drehung, eine ganz spezielle Drehung, die wir hier haben und zwar die Drehung um 90 Grad,

ist die einzige Drehung, die antisymmetrische ist, die einzige Drehung, die eben Null-Elemente auf

der Diagonalen erzeugt. Können uns das also sozusagen, wenn wir es wieder komplexifizieren,

könnten wir das uns auch als Multiplikation mit I vorstellen. Gut, aus dieser Darstellung

kann man eine Reihe von Folgerungen ziehen, die wir zum Teil schon diskutiert haben. Das eine ist,

das erste ist offensichtlich der Rang einer alternierenden Matrix ist stets gerade. Wir können

ja jetzt so vorgehen, wir können irgendeine, also die Begriffe alternierend und schiefsymmetrisch

oder antisymmetrisch werden ab jetzt wirklich austauschbar benutzt. Wir haben dann ursprünglich

nicht von alternierenden, sondern von schiefsymmetrischen oder antisymmetrischen

Matrizen gesprochen, aber das ist alles das Gleiche, wie wir gesehen haben. Wir haben ja

gesehen, wir können die zukünftige bilinearform auffassen, betrachten, wir haben gesehen, das ist

gerade die Normalform dazu. Wir haben gesehen, durch Basiswechsel ändert sich der Rang nicht,

das heißt, wir können den Rang einer schiefsymmetrischen Matrix ablesen,

indem wir auf den Rang dieser Matrix schauen und dann sehen wir natürlich, der Rang dieser Matrix

ist gerade zweimal die Anzahl der Zweierkästchen. Okay, was haben wir noch für weitere Aussagen?

Das ist nicht so ganz offensichtlich, aber auch eine unmittelbare Folge. Die Determinante

einer solchen Matrix ist stets ein Quadrat, eine Quadratzahl. Vielleicht schauen wir uns

das kurz an, warum dem so ist. Das ist kein wirklich tiefsinniger Beweis.

Also, eins ist klar, haben wir gerade gesagt, zwei. Gut. Wie ist noch

mal der Zusammenhang? Wir haben hier den Zusammenhang. Vielleicht ist es sogar sinnvoll,

erst einmal auf, ja gut, wir können auch, ohne dass wir uns drei anschauen, das begründen. Auch

die Determinante bleibt invariant unter diesen Transformationen. Und jetzt müssen wir uns also

sozusagen nur mal um die Determinante dieser speziellen Darstellungsmatrix kümmern. Da können

wir den, also wir könnten so argumentieren, wir schauen uns die Determinante von dieser speziellen

zwei Kreuz zwei Block enthaltenen Darstellungsmatrix an und hier eventuell Nullen. Ja, was ist das? Da

gibt es zwei Möglichkeiten. Das ist entweder Null. Ich sage es mal einfach schlicht, wenn Nullen

auftreten. Also, wenn diese Nullen hier wirklich vorhanden sind. Und im anderen Fall, nach der

Kästchenregel ist die Determinante hier von einfach das Quadrat der Determinante der Blöcke. Die

Determinante der Blöcke, schauen wir uns das mal an. Das ist also, ich hoffe, dass es mir diesmal

gelingt, sie korrekt auszurechnen. Also wir rechnen Null mal Null minus, minus eins mal eins. Das

dürfte also eins, Moment, das dürfte eins ergeben. Also hier für diese spezielle Matrix gilt

offensichtlich die Quadratgestalt. Wieso gilt sie auch für die allgemeine Matrix? Ja, vielleicht

ist es dadurch günstig direkt mal zu drei zu schauen. In drei wird Folgendes behauptet,

machen wir erstmal einen Beweis von drei. In drei wird Folgendes behauptet, wenn ich eine solche

Matrix habe, die invertierbar ist, also der Fall mit Determinante gleich Null, der innen nicht